सामग्री

• पायर्‍या
• टिपा

द्विपदी (चिनी (x, a, 3x, 4t, 1090y)) व्हेरिएबल (x, a, 3x, 4t, 1090y) ची जोडलेली एक छोटी गणिती अभिव्यक्ती असते ज्यामध्ये स्थिर (1, 3, 110, इ) जोडली किंवा वजा केली जाते. द्विपदी नेहमीच दोन शब्द असतात, परंतु त्या बहुतेक म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या मोठ्या आणि अधिक जटिल समीकरणाचे घटक असतात, ज्यामुळे हे शिकणे अत्यंत महत्त्वपूर्ण होते. हा लेख विविध प्रकारच्या द्विपक्षीय गुणाकारांबद्दल चर्चा करेल, परंतु ते स्वतंत्रपणे देखील शिकू शकतात.

पायर्‍या

3 पैकी 1 पद्धत: दोन द्विपदी गुणाकार

1. 

   गणिताची शब्दसंग्रह आणि प्रश्न प्रकार समजून घ्या. आपल्या पुढच्या परीक्षेचे प्रश्न सोडवणे अशक्य आहे जर आपण त्यांना काय विचारत आहात हे माहित नसल्यास. सुदैवाने, शब्दावली खूपच सोपी आहे:
   • अटीः संज्ञा जोडणे किंवा वजा करणे या समीकरणाचा फक्त एक भाग आहे. हे स्थिर, चल किंवा दोन्ही असू शकते. उदाहरणार्थ, 12 + 13x + 4x मध्ये, अटी आहेत 12,13x, आणि 4x
   • द्विपदी "दोन पदांसह अभिव्यक्ती" म्हणण्याचा हा फक्त एक गुंतागुंत मार्ग आहे x + 3 किंवा x - 3x.
   • शक्ती: याचा अर्थ एखाद्या संज्ञेच्या उद्घोषणाबद्दल उदाहरणार्थ, आपण असे म्हणू शकता की x "x à" आहे दुसरी शक्ती किंवा दोन पर्यंत उठविले.’
   • "दोन द्विपदी (x + 3) (x + 2) च्या संज्ञा शोधा," "दोन द्विपदींचे उत्पादन शोधा" किंवा "दोन द्विपदी विस्तृत करा" असे विचारणारा कोणताही प्रश्न आपल्याला दोन द्विपदी गुणाकार करण्यास सांगत आहे.

2. 

   
   
   द्विपक्षीय गुणाकाराचा क्रम लक्षात ठेवण्यासाठी FOIL संक्षिप्त शब्द जाणून घ्या. फॉयल ही दोन इंग्रजी पुस्तके गुणाकार करण्यासाठी इंग्रजी पद्धत आहे. FOIL चा अर्थ असा आहे की ज्यामध्ये आपल्याला द्विपदीय भागांचे भाग गुणाकार करणे आवश्यक आहे: एफ म्हणजे पहिला (प्रथम), ओ आहे बाहेर (बाहेरून), म्हणजे आतील (आतून) आणि एल साठी आहे शेवटचा (शेवटचे) - प्रथम बाहेरचे, नंतर ते आत. नावे ज्या क्रमाने अटी लिहिल्या आहेत त्या संदर्भात आहेत. समजा आपण द्विपदी (x + 2) आणि (x + 5) गुणाकार करीत आहात. अटी असेः
   • पहिला: x आणि x
   • बाह्य: x आणि 5
   • आतील: 2 आणि x
   • अंतिम: 2 & 5

3. 

   
   
   प्रत्येक कंसात प्रथम भाग गुणाकार करा. हे फॉइलसाठी “एफ” आहे. आमच्या उदाहरणात (x + 2) (x + 5), पहिल्या संज्ञा “x” आणि “x” आहेत. त्यांना गुणाकार करा आणि उत्तर लिहा: "x."
   • प्रथम अटीः x * x = x

4. 

   प्रत्येक कंसातील बाहेरील भाग गुणाकार करा. आमच्या समस्येच्या या सर्वात बाह्य "टिपा" आहेत. तर, आमच्या उदाहरणात (x + 2) (x + 5), या टिपा "x" आणि "5" असतील. एकत्रितपणे, त्यांचा परिणाम "5x" होतो
   • बाहेरील अटीः x * 5 = 5x

5. 

   
   
   प्रत्येक कंसातील भाग गुणाकार करा. केंद्राच्या सर्वात जवळ असलेल्या दोन संख्या अंतर्गत संज्ञा असेल. (X + 2) मध्ये (x + 5), याचा अर्थ असा की आपण "2x" मिळविण्यासाठी "2" ला "x" ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.
   • अंतर्गत अटीः 2 * x = 2x

6. 

   प्रत्येक कंसातील शेवटचे भाग गुणाकार करा. हे नाही म्हणजे शेवटच्या दोन संख्या, परंतु प्रत्येक कंसातील शेवटची संख्या. म्हणून, (x + 2) (x + 5) मध्ये, "10" मिळविण्यासाठी "2" आणि "5" गुणाकार करा.
   • अंतिम अटीः 2 * 5 = 10

7. 

   सर्व अटी जोडा. नवीन आणि मोठी अभिव्यक्ती तयार करण्यासाठी अटी एकत्र जोडून एकत्र करा. मागील उदाहरणावरून आपल्याला हे समीकरण प्राप्त होते:
   • x + 5x + 2x + 10

8. 

   अटी सुलभ करा. तत्सम अटी समान व्हेरिएबल आणि पॉवर असलेल्या समीकरणाचे भाग आहेत. आमच्या उदाहरणात, 2x आणि 5x या दोन्ही शब्दांमध्ये एक्स सामायिक आहे आणि एकत्र जोडले जाऊ शकते. यापुढे सारखा शब्द उरला नाही, म्हणून त्या अस्पृश्य राहतील.
   • अंतिम anwser: (x + 2) (x + 5) = x + 7x + 10
   • प्रगत टीप: तत्सम शब्द कसे कार्य करतात हे जाणून घेण्यासाठी, गुणाकारांची मूलतत्वे लक्षात ठेवा. 3 * 5, उदाहरणार्थ, याचा अर्थ असा आहे की आपण 15 (5 + 5 + 5) मिळविण्यासाठी पाच पाच वेळा जोडत आहात. आमच्या समीकरणात आमच्याकडे 5 * x (x + x + x + x + x) आणि 2 * x (x + x) आहेत. जर आपण समीकरणात सर्व "x" s जोडले तर आपल्याला सात "x" किंवा 7x मिळतील.

9. 

   लक्षात ठेवा वजा केलेल्या संख्या नकारात्मक आहेत. जेव्हा एखादी संख्या वजा केली जाते तेव्हा ती नकारात्मक संख्या जोडण्याइतकीच असते. आपण गणितांमध्ये वजा चिन्ह ठेवणे विसरल्यास, आपण चुकीच्या उत्तरासह समाप्त व्हाल. उदाहरण घ्या (x + 3) (x-2):
   • पहिला: x * x = x
   • आउट: x * -2 = -2x
   • आतून: 3 * x = 3x
   • नवीनतम: 3 * -2 = -6
   • सर्व अटी जोडा: x - 2x + 3x - 6
   • उत्तर सुलभ करा:x + x - 6

3 पैकी 2 पद्धत: दोनपेक्षा जास्त द्विपदीय गुणाकार

1. 

   प्रथम दोन द्विपदी गुणाकार करा, तात्पुरते तिसर्‍याकडे दुर्लक्ष करा. उदाहरण घ्या (x + 4) (x + 1) (x + 3). आम्हाला एकाच वेळी एक द्विपक्षीय गुणाकार करणे आवश्यक आहे, म्हणून FOIL किंवा मुदतीच्या वितरणासह दोन गुणाकार करा. एफओआयएलसह पहिले दोन, (x + 4) आणि (x + 1) गुणाकार करणे खालीलप्रमाणे आहे:
   • पहिला: x * x = x
   • बाहेर: 1 * x = x
   • आतून: 4 * x = 4x
   • नवीनतम: 1*4 = 4
   • अटी एकत्र करा: x + x + 4x + 4
   • (x + 4) (x + 1) = x + 5x +4

2. 

   उर्वरित द्विपदी नवीन समीकरणासह एकत्र करा. आता त्या समीकरणाचा भाग गुणाकार झाला आहे, तर आपण उर्वरित द्विपदी हाताळू शकता. उदाहरणार्थ (x + 4) (x + 1) (x + 3), उर्वरित टर्म (x + 3) आहे. हे नवीन समीकरण एकत्र ठेवून: (x + 3) (x + 5x + 4).

3. 

   द्विपदी असलेल्या पहिल्या क्रमांकास इतर कंसात तीनही संख्येने गुणाकार करा. हे अटींच्या वितरणाबद्दल आहे. म्हणून, समीकरण (x + 3) (x + 5x + 4) मध्ये, आपल्याला प्रथम x ला दुसर्‍या कंसातील तीन भाग, "x," "5x," आणि "4" ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.
   • (x * x) + (x * 5x) + (x * 4) = x + 5x + 4x
   • ते उत्तर लिहा आणि नंतर जतन करा.

4. 

   द्विपदी मधील दुसर्‍या क्रमांकास इतर कंसात तीनही संख्येने गुणाकार करा. समीकरण घ्या (x + 3) (x + 5x + 4) आता द्विपदीच्या दुसर्‍या भागाला इतर कंसातील तीनही भाग "x," "5x," आणि "4" ने गुणाकार करा.
   • (3 * x) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x + 15x + 12
   • हे उत्तर पहिल्या जवळ लिहा.

5. 

   गुणाची दोन उत्पादने जोडा. आपल्याला मागील दोन चरणांमधील उत्तरे एकत्रित करण्याची आवश्यकता आहे कारण ते आपल्या अंतिम उत्तराचे दोन भाग करतात.
   • x + 5x + 4x + 3x + 15x + 12

6. 

   अंतिम उत्तर मिळण्यासाठी समीकरण सुलभ करा. उत्तर "सुलभ" करण्यासाठी कोणतीही "समान" संज्ञा किंवा समान व्हेरिएबल आणि पॉवर (जसे की 5x आणि 3x) सामायिक केलेल्या संज्ञा जोडल्या जाऊ शकतात.
   • 5x आणि 3x फॉर्म 8x
   • 4x आणि 15x फॉर्म 19x
   • (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x + 8x + 19x + 12

7. 

   मोठ्या गुणाकारांच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी नेहमीच वितरणाचा वापर करा. आपण कोणत्याही लांबीचे गुणाकार समीकरण करण्यासाठी मुदत वितरण वापरू शकत असल्याने आपल्याकडे आता (x + 1) (x + 2) (x + 3) सारख्या मोठ्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक साधने आहेत. टर्म वितरण किंवा एफओआयएल वापरुन दोन द्विपदी गुणाकार आणि नंतर पहिल्या दोनसह अंतिम द्विपदी गुणाकार करण्यासाठी टर्म वितरण वापरा. खालील उदाहरणात, आम्ही FOIL (x + 1) (x + 2) वापरतो आणि नंतर अंतिम उत्तर मिळविण्यासाठी (x + 3) सह अटी वितरित करतो:
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
   • (x + 1) (x + 2) = x + 3x + 2
   • (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 3: + 2) * (x + 3)
   • (x + 3x + 2) * (x + 3) = x + 3x + 2x + 3x + 9x + 6
   • उत्तर सुलभ करा:x + 6x + 11x + 6

3 पैकी 3 पद्धत: वर्गवारी द्विपदी

1. 

   "सामान्य सूत्रे" कशी आयोजित करावीत हे समजून घ्या. सामान्य सूत्रे प्रत्येक वेळी FOIL ची गणना करण्याऐवजी आपल्याला फक्त संख्या बसविण्यास परवानगी देतात. दुसर्‍या उर्जा (किंवा चौरस) पर्यंत वाढविलेल्या, किंवा (4 + + 12) सारख्या तृतीय उर्जेवर वाढविलेल्या द्विपदी, सहजपणे पूर्व-अस्तित्त्वात असलेल्या सूत्रामध्ये बसविता येऊ शकतात, ज्यामुळे रिझोल्यूशन वेगवान होते आणि सोपे. सामान्य सूत्र शोधण्यासाठी, आम्ही सर्व संख्या बदलण्यासह बदलू. आणि शेवटी, आम्ही फक्त उत्तरे मध्ये संख्या ठेवू शकतो. समीकरण (ए + बी) सह प्रारंभ करा, जिथे:
   • द व्हेरिएबल संज्ञा आहे 4 वा - 1, 2x + 3 इ.). संख्या नसल्यास 1 = 1 x * x पासून 1 = 1.
   • बी सतत जोडणे किंवा वजा करणे (एक्स + सारखे) आहे 10, ट - 12).

2. 

   कोणत्या चौरस द्विपदी पुन्हा लिहिल्या जाऊ शकतात ते शोधा. (अ + बी) आमच्या मागील उदाहरणापेक्षा अधिक क्लिष्ट वाटू शकते परंतु ते लक्षात ठेवा संख्या वर्गीकरण करणे केवळ स्वतःच गुणाकार करीत आहे. समीकरण अधिक परिचित दिसण्यासाठी आपण ते पुन्हा लिहू शकता:
   • (a + b) = (a + b) (a + b)

3. 

   नवीन समीकरण सोडविण्यासाठी फॉइल पद्धत वापरा. जर आपण या समीकरणामध्ये फॉइल वापरत असाल तर आपल्याला एक सामान्य सूत्र मिळेल जे कोणत्याही द्विपक्षीय गुणाकाराचे निराकरण दिसते. लक्षात ठेवा की गुणाकारात घटकांच्या क्रमाने निकाल बदलत नाहीत.
   • (A + b) (a + b) म्हणून पुन्हा लिहा.
   • पहिला: a * a = a
   • आतून: बी * अ = बा
   • आउट: a * b = ab
   • नवीनतम: बी * बी = बी.
   • नवीन अटी जोडा: ए + बा + अब + बी
   • तत्सम शब्द एकत्र करा: a + 2ab + बी
   • प्रगत टीप: गुणाकार आणि भाग गुणधर्म घातांकडे काम करत नाहीत. (a + b) + बी सारखे नाही. ही एक सामान्य चूक आहे जी लोक करतात.

4. 

   आपल्या समस्या सोडविण्यासाठी सामान्य +1 2+ + बी समीकरण वापरा. समीकरण घ्या (x + 2) पुन्हा फॉइल वापरण्याऐवजी आपण “अ” मधील पहिले टर्म आणि “ब” मध्ये दुसरे टर्म बसवू शकतो.
   • सामान्य समीकरण: a + 2ab + b
   • a = x, b = 2
   • x + (2 * x * 2) + 2
   • अंतिम anwser: x + 4x + 4.
   • मूळ समीकरण, (x + 2) (x + 2) मध्ये FOIL करुन आपण नेहमी आपली गणना तपासू शकता. जर गणना योग्य केली असेल तर आपल्याला नेहमीच समान उत्तर मिळेल.
   • जर एखादी संज्ञा वजाबाकी केली गेली असेल तर तरीही सामान्य समीकरणामध्ये ती नकारात्मक ठेवणे आवश्यक आहे.

5. 

   संपूर्ण समीकरण सामान्य समीकरणात समाविष्ट करणे लक्षात ठेवा. द्विपदी दिले (2x + 3), लक्षात ठेवा की a = 2x, फक्त a = 2. नाही, जेव्हा आपल्याकडे अधिक जटिल अटी असतील तेव्हा हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की 2 आणि x दोन्ही चौरस आहेत.
   • सामान्य समीकरण: a + 2ab + b
   • अ आणि बी बदला: (2x) + 2 (2 एक्स) (3) + 3
   • प्रत्येक टर्म क्वार्डाडो पर्यंत वाढवा: (2) (x) + 14x + 3
   • उत्तर सुलभ करा: 4x + 14x + 9

टिपा

• द्विपदी मोठ्या होताना, आपल्याला द्विपदी विस्तार नावाचा एक अधिक जटिल प्रमेय शिकण्याची आवश्यकता आहे.