सामग्री

• प्रारंभिक
• पायर्‍या

लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म हे अविभाज्य रूपांतर आहे जेव्हा स्थिर गुणांकांसह भिन्न समीकरणे मोजली जातात. हे भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीमध्ये देखील खूप उपयुक्त आहे.

सारण्यांची उपलब्धता विस्तीर्ण असली तरीही आपण स्वतःचे तयार करण्यास सक्षम होण्यासाठी या रूपांतरणाचे गुणधर्म समजून घेणे महत्वाचे आहे.

प्रारंभिक

• समजा हे परिभाषित केलेले कार्य आहे. खालील व्याख्या लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म अविभाज्य रूपांतरित केलेल्या प्रत्येक मूल्यासाठी खालील कार्य म्हणूनः
• फंक्शनमध्ये लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म लागू करताना, त्याचे रूपांतर डोमेन (किंवा अस्थायी) वरून डोमेन- (किंवा लॅपलॅशियन) मध्ये केले जाते, जिथे हे कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या कॉम्पलेक्स फंक्शनचे प्रतिनिधित्व करते. अशाप्रकारे, ही समस्या डोमेनमध्ये उद्भवली आहे जी (आशेने) निराकरण करणे सोपे होईल.
• अर्थात लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म हे एक रेषीय ऑपरेटर आहे, जेणेकरून प्रत्येक बेरीज स्वतंत्रपणे बनवून पदांची बेरीज केली जाऊ शकते.
• लक्षात ठेवा लॅप्लेस केवळ परिवर्तित झाल्यास रूपांतर करते. जर फंक्शनमध्ये काही विरळपणा असेल तर त्रुटी टाळण्यासाठी अविभाज्य मर्यादा विभाजित केल्या गेल्या आहेत याची काळजी घेणे आवश्यक आहे.

पायर्‍या

3 पैकी 1 पद्धतः प्रारंभ करणे

1. लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म संकल्पनेवर आधारित फंक्शन पुनर्स्थित करा. सैद्धांतिकदृष्ट्या, फंक्शनमध्ये केलेली ही गणना करणे अत्यंत सोपे आहे. येथे उदाहरण वापरले जाईल, कारण ते अशा (जटिल) स्थिरतेचे प्रतिनिधित्व करते.
2. कोणतेही संभाव्य साधन वापरून अविभाज्याचे मूल्यांकन करा. सध्याच्या उदाहरणात, विश्लेषण केवळ कॅल्क्युलसच्या मूलभूत प्रमेयचा वापर करून अत्यंत सोपे आहे. अधिक क्लिष्ट प्रकरणांमध्ये, भागांचे एकत्रीकरण किंवा अविभाज्य अंतर्गत भिन्नता यासारख्या तंत्रे देखील वापरली जाऊ शकतात. निर्बंध सूचित करते की सदस्याचे रुपांतर होते, म्हणजेच ते थोड्या वेळाने येते.
   • लक्षात घ्या की या परिणामी दोन लॅप्लस "विनामूल्य" बदलतात: युलरच्या सूत्राद्वारे सहसंबंधित फंक्शनचा विचार केल्यास साइन आणि कोसाइन फंक्शन्स. मग हर एक आहे, आणि जे काही शिल्लक आहे ते निकालाचे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग घेणे आहे. थेट मूल्यांकन करणे शक्य होईल, परंतु ते अधिक वर्कलोड असेल.
3. पॉवर फंक्शनच्या लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचे मूल्यांकन करा. पुढे जाण्यापूर्वी, या परिवर्तनाचे विश्लेषण करणे आवश्यक आहे, कारण रेषात्मकतेच्या मालमत्तेचे परिवर्तन सक्षम करते सर्व बहुपदी. पॉवर फंक्शनद्वारे प्रतिनिधित्व केले जाते, जेथे ते कोणत्याही सकारात्मक पूर्णांकचे प्रतिनिधित्व करते. रिकर्सिव नियम निश्चित करण्यासाठी भागांद्वारे एकत्रिकरण वापरणे शक्य आहे.
   • जरी परिणाम स्पष्टपणे लिहिलेला नाही, परंतु काही मूल्यांच्या प्रतिस्थापनासह, अगदी स्पष्ट नमुना उदभवला (चाचणी करा!), ज्यामधून पुढील गोष्टी स्पष्ट केल्या जाऊ शकतात:
   • गॅमा फंक्शनचा उपयोग करून लॅप्लेस ऑफ फ्रॅक्शनल पावरचे रूपांतर निश्चित करणे देखील शक्य आहे. अशाप्रकारे फंक्शन ट्रान्सफॉर्मची गणना करणे शक्य आहे.
   • जरी अपूर्णांक असलेल्या शक्तींमध्ये फंक्शन पॉईंट्स असले पाहिजेत (लक्षात घ्या की प्रत्येक जटिल संख्येसाठी आणि ते पुन्हा कसे लिहिले जाणे आवश्यक आहे), त्यांची व्याख्या करणे नेहमीच शक्य होईल जेणेकरून विश्लेषणाची समस्या टाळण्यासाठी ते डाव्या मध्य विमानातच राहतील. .

3 पैकी 2 पद्धत: लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म गुणधर्म

1. गुणाकार फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म निश्चित करा. मागील विभागातील परिणामांमुळे या रूपांतरणाच्या स्वारस्यपूर्ण गुणधर्मांचे दृश्यमान करणे शक्य होते. पॉवर ट्रान्सफॉर्मपेक्षा लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म जसे की कोसाइन, साईन आणि एक्सपोनेशियल सोपे वाटते. आपल्या लक्षात येईल की डोमेनमधील गुणाकार - अशी संबंधित आहे फरक डोमेन मध्ये-.
   • या मालमत्तेमुळे अविभाजकाच्या थेट विश्लेषणाची आवश्यकता नसताना फंक्शन ट्रान्सफॉर्म शोधणे त्वरित शक्य होते.
2. गुणाकार फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म निश्चित करा. समजा आपण गुणाकार करुन प्रारंभ करता. तर, परिभाषानुसार, आश्चर्यकारकपणे स्पष्ट परिणाम मिळविण्यासाठी आपण अविभाज्य अंतर्गत भिन्न करू शकता.
   • या प्रक्रियेची पुनरावृत्ती करून, एकूण निकाल लागला आहे.
   • अविभाज्य आणि भिन्नता चालकांमधील एक्सचेंजला मोठ्या कठोरतेसाठी विशिष्ट औचित्य आवश्यक आहे, परंतु येथे केवळ हे लक्षात येईल की अंतिम उत्तर वास्तविकतेनुसार आहे तोपर्यंत ऑपरेशनला परवानगी आहे. स्वतंत्र व्हेरिएबल्स आहेत या वस्तुस्थितीवर समाधान मिळविणे शक्य आहे.
   • स्वाभाविकच, या मालमत्तेसह लॅपलेस कार्येचे रूपांतर करते जे वारंवार भागांद्वारे एकत्रिकरण न वापरता सहजपणे निश्चित केले जाऊ शकते.
3. विस्तारित फंक्शनचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म निश्चित करा. व्याख्येनुसार, हे मूल्य प्रतिस्थानासह निश्चित करणे सोपे आहे.
   • लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मचे आणि थेट एक्सपोनेन्शल फंक्शनद्वारे निश्चित केले गेले होते. या मालमत्तेचा उपयोग वास्तविक आणि काल्पनिक भागांच्या गणनेपासून सुरू करुन समान परिणाम मिळविण्यासाठी केला जाऊ शकतो.
4. डेरिव्हेटिव्हचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म ठरवा. मागील परिणामांसारखे नाही, ज्याने येथे भागांसह एकत्रिकरणासह वेळ वाचविला ते आवश्यक आहे या पद्धतीचा वापर करा.
   • दुसरे व्युत्पन्न अनेक भौतिक उपयोगांमध्ये दिसून येत असल्याने, दुसर्‍या डेरिव्हेटिव्हचा लॅपलेस ट्रान्सफॉर्म देखील येथे सूचीबद्ध आहे.
   • सर्वसाधारणपणे, नवव्या डेरिव्हेटिव्हचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्म खालील निकालाद्वारे दिले गेले आहे (जे या प्रकारच्या ट्रान्सफॉर्मद्वारे भिन्न समीकरणे सोडविण्यात महत्वाचे आहे):

पद्धत 3 पैकी 3: मालिका पद्धतींबद्दल

1. नियतकालिक कार्याचे लॅपलेस रूपांतर निश्चित करा. हे कार्य संपत्तीस समाधान देण्यास सक्षम आहे, जेथे हे कार्य कालावधी दर्शवते आणि सकारात्मक पूर्णांक आहे. सिग्नल प्रोसेसिंग आणि इलेक्ट्रिकल इंजिनीअरिंगच्या अनेक उपयोगांमध्ये नियतकालिक कार्ये दिसून येतात. थोड्याशा हाताळणीसह, आपण पुढील उत्तरांसह येता:
   • हे लक्षात आले आहे की नियतकालिक कार्याचे लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मेशन त्याच्या एका चक्राच्या लॅपलेस ट्रान्सफॉर्मशी संबंधित आहे.
2. नॅचरल लॉगरिदमच्या लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्मची गणना करण्याबद्दल अधिक जाणून घ्या. या अविभाज्याचे विश्लेषण कॅल्क्युलसच्या मूलभूत प्रमेयसह केले जाऊ शकत नाही, कारण अँटीडेरिवेटिव प्राथमिक कार्यांच्या बाबतीत व्यक्त केले जात नाही. आपणास असे लक्षात येईल की तेथे एक तंत्र आहे जे गॅग फंक्शन आणि त्याच्या विविध मालिकेच्या विस्ताराचा वापर नैसर्गिक लॉगरिदम आणि त्याच्या उच्च शक्तींचे मूल्यांकन करण्यासाठी करते. युलर-माशेरोनी स्थिरतेची निकड हे सिद्ध करण्यासाठी पुरेसे आहे की अविभाज्य मालिकेच्या पद्धतींसह विश्लेषणाची आवश्यकता आहे.
3. फंक्शनच्या लॅपलेस ट्रान्सफॉर्मचे मूल्यांकन करा (नॉन-नॉर्मलाइज्ड). प्रथम प्रकार आणि ऑर्डरच्या गोलाकार बेसल फंक्शनच्या समतुल्य म्हणून विभेदक समीकरणांमध्ये सहज ओळखता येण्याजोगे हे कार्य सिग्नल प्रक्रियेमध्ये मोठ्या प्रमाणात आढळते. किंवा आपल्या लॅपलेस ट्रान्सफॉर्मची गणना प्रमाणित पद्धतीद्वारे केली जाऊ शकत नाही. म्हणूनच, एकाच वेळी एका संज्ञेच्या परिवर्तनाकडे जाणे आवश्यक आहे, कारण वैयक्तिक शब्द ही शक्तीची कार्ये आहेत, जेणेकरून त्यांचे परिवर्तन निश्चितपणे स्थापित अंतरामध्ये एकत्रित होईल.
   • तत्वतः, फंक्शनची टेलर मालिका लिहा.
   • आता, ज्ञात उर्जा फंक्शनच्या लॅप्लेस ट्रान्सफॉर्ममधून पुढे जा. फॅक्टोरियल्स रद्द करतात आणि काही निरीक्षणासह, आपण व्युत्क्रम स्पर्शिकाची टेलर मालिका ओळखाल - कार्य करण्यासाठी टेलर मालिकेसारखी दिसणारी वैकल्पिक मालिका, परंतु तथ्याशिवाय.