सामग्री

• पायर्‍या
• टिपा

गणितज्ञ आणि ग्राफिक प्रोग्रामर सहसा दोन वेक्टर दरम्यान कोन शोधणे आवश्यक असते. सुदैवाने, या कोनाची गणना करण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या सूत्रामध्ये साध्या स्केलर उत्पादनाशिवाय काहीच आवश्यक नसते. जरी द्विमितीय वेक्टर वापरताना या सूत्रामागील तर्क समजणे सोपे आहे, परंतु आम्ही हे अनेक घटकांसह सहजपणे ते वेक्टरशी जुळवून घेऊ शकतो.

पायर्‍या

भाग २ चा भाग: दोन वेक्टर दरम्यान कोनाची गणना करा

1. 

   दोन वेक्टर ओळखा. दोन सदिश्यांविषयी सर्व ज्ञात माहिती लिहा. या ट्यूटोरियलच्या उद्देशाने, आम्ही असे गृहित धरू की आपण वेक्टरना फक्त त्यांच्या त्रिमितीय निर्देशांकाच्या संदर्भात ओळखले आहे. घटक). आपण आधीच माहित असल्यास मॉड्यूल किंवा मानक या वेक्टरपैकी (म्हणजे त्यांची लांबी), आपण खाली काही चरण वगळू शकता.
   • उदाहरणः आम्ही द्विमितीय वेक्टर = (2,2) आणि = (0,3) विचार करू. हे दोन वेक्टर = 2 म्हणून पुन्हा लिहिले जाऊ शकतातमी + 2j e = 0मी + 3j = 3j.
   • जरी आमचे उदाहरण दोन-द्विमितीय वेक्टर वापरत असले तरी, आम्ही खालील निर्देशांची संख्या अनेक घटकांसह वेक्टरना लागू करू शकतो.

2. 

   
   
   कोसाइन सूत्र लिहा. कोणत्याही दोन वेक्टर दरम्यान कोनाचे मूल्य शोधण्यासाठी आपण प्रथम त्या कोनाच्या कोसाइनची गणना केली पाहिजे. आपण फॉर्म्युला तपशीलवार शोधू आणि शोधू शकता किंवा खाली लिहिता तसे लिहू शकता:
   • cosθ = (•) / (||||
   • || क्विप प्रतिनिधित्व मॉड्यूल (किंवा लांबी) वेक्टरची ".
   • मी प्रतिनिधित्व करतो स्केलर उत्पादन (किंवा अंतर्गत उत्पादन) दोन वेक्टरचे.

3. 

   
   
   प्रत्येक वेक्टरच्या मॉड्यूलसची गणना करा. घटकाद्वारे बनवलेल्या उजव्या त्रिकोणाची कल्पना करा x वेक्टरचा घटक y आणि वेक्टर स्वतःच. या त्रिकोणात, वेक्टर कर्णकर्त्याची भूमिका बजावतात; म्हणून, त्याची लांबी शोधण्यासाठी आम्ही पायथागोरियन प्रमेय लागू करू. परिणामी, हे सूत्र अनेक घटकांसह वेक्टरना सहज लागू होते.
   • || यू || = यू₁ + यू₂. जर वेक्टरमध्ये दोनपेक्षा जास्त घटक असतील तर फक्त + यू जोडणे सुरू ठेवा₃ + यू₄ +...
   • म्हणून, द्विमितीय वेक्टरसाठी, आम्हाला करावे लागेल || यू || = √ (यू₁ + यू₂).
   • आमच्या उदाहरणात, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   दोन वेक्टर दरम्यान स्केलर उत्पादनाची गणना करा. आपल्याला गुणाकार वेक्टरची पद्धत आधीपासूनच माहित असावी, ज्यास देखील म्हणतात स्केलर उत्पादन. दोन वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाची त्यांच्या घटकांच्या बाबतीत गणना करण्यासाठी आम्ही घटकांना त्याच दिशेने गुणाकार करतो आणि नंतर त्या उत्पादनांचा परिणाम जोडा.
   • आपण संगणक ग्राफिक्स प्रोग्रामसह कार्य करीत असल्यास, पुढे जाण्यापूर्वी प्रथम "टिपा" विभागास भेट द्या.
   • गणिताच्या दृष्टीने, • = यू₁v₁ + यू₂v₂, जेथे यू = (यू₁, यू₂). आपल्या वेक्टरमध्ये दोनपेक्षा जास्त घटक असल्यास, फक्त + यू जोडणे सुरू ठेवा₃v₃ + यू₄v₄...
   • आमच्या उदाहरणात, • = u₁v₁ + यू₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. हे वेक्टर आणि दरम्यान स्केलर उत्पादनाचे मूल्य आहे.

5. 

   हे परिणाम कोसाइन फॉर्म्युलामध्ये ठेवा. लक्षात ठेवा, कोस = = (•) / (|| स्पीड || ||). आम्ही स्केलर उत्पादन आणि दोन सदिशांच्या मॉड्यूलची गणना आधीच केली आहे. आता या व्हॅल्यूज सूत्रामध्ये बदलू आणि कोनाच्या कोसाइनची गणना करू.
   • आमच्या उदाहरणात कोसा = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   आपल्या कोसाइनवर आधारित कोन शोधा.
   आपल्या कोसाइन मूल्यापासून कोन निर्धारित करण्यासाठी आपल्या कॅल्क्युलेटरचा कंस किंवा कोस फंक्शन वापरा. काही प्रकरणांमध्ये, आपल्याला युनिट मंडळाच्या आधारे कोन मूल्य शोधण्यात सक्षम होऊ शकेल.
   • आमच्या उदाहरणात कोसा = √2 / 2. कोन शोधण्यासाठी आपल्या कॅल्क्युलेटरमध्ये "आर्कोकोस (√2 / 2)" टाइप करा. दुसरा पर्याय म्हणजे युनिट वर्तुळाचा कोन for शोधणे जिथे cosθ = √2 / 2: हे खरे असेल θ = /₄ किंवा 45 °.
   • सर्व माहिती एकत्र ठेवत असताना, आपल्याकडे अंतिम सूत्र will = आर्कोकोसिन ((•) / (||() || ||)) असेल

भाग २ चे 2: कोनाची गणना करण्यासाठी सूत्र परिभाषित करणे

1. 

   सूत्राचा हेतू समजून घ्या. आम्ही दोन सभोवतालच्या कोनाची गणना करण्यासाठी वापरत असलेल्या सूत्राच्या अस्तित्वातील नियमांमधून काढलेले नाही; त्याऐवजी, ते दोन वेक्टर आणि त्या दरम्यानच्या कोनात दरम्यान स्केलर उत्पादनाची व्याख्या म्हणून तयार केले गेले. तथापि, हा निर्णय अनियंत्रित नाही. मूलभूत भूमितीवर बारकाईने नजर टाकल्यास, हे सूत्र अशा उपयुक्त आणि अंतर्ज्ञानी परिभाषांमध्ये का परिणाम देते हे आम्ही पाहू शकतो.
   • खालील उदाहरणे द्विमितीय वेक्टर वापरतात कारण ते कार्य करण्यासाठी सर्वात अंतर्ज्ञानी आहेत. तीन किंवा त्याहून अधिक परिमाणांच्या वेक्टर्सची त्यांची प्रॉपर्टी सामान्य सूत्रामधून (अगदी समान प्रकारे देखील) परिभाषित केली जातात.

2. 

   कोसाइन कायद्याचे पुनरावलोकन करा. कोणत्याही त्रिकोणात, बाजूंनी बनवलेल्या कोनातून विचार करा द आणि बी आणि बाजूला ç त्या कोनात उलट कोसाइन कायद्यानुसार, c = a + b -2abकमरबंद(θ). मूलभूत भूमितीच्या ज्ञानावरून या सूत्राचे प्रात्यक्षिक सहज मिळू शकते.

3. 

   त्रिकोण तयार करण्यासाठी दोन वेक्टर कनेक्ट करा. व्हेक्टरची जोडी काढा आणि त्यांच्यामध्ये कोनात with मग त्रिकोण तयार करण्यासाठी त्यांच्या दरम्यान तिसरा वेक्टर काढा. दुसर्‍या शब्दांत, वेक्टर ड्रॉ करा जेणेकरून + =, किंवा फक्त = -.

4. 

   या त्रिकोणावर कोसाइन कायदा लागू करा. च्या बाजूंची लांबी बदला वेक्टर त्रिकोण (म्हणजेच वेक्टर मॉड्यूल) कोसाइन कायद्याच्या सूत्रामध्येः
   • || (अ - ब) || = || अ || + || ब || - 2 || अ || || ब ||कमरबंद(θ)

5. 

   स्केलेर उत्पादने वापरुन सूत्र पुन्हा लिहा. लक्षात ठेवा की बिंदू उत्पादन हे एका दुसर्या प्रक्षेपित वेक्टरचे विस्तार आहे. एखाद्या वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनास स्वतःच प्रोजेक्शनची आवश्यकता नसते कारण दिशेने कोणताही बदल होत नाही. याचा अर्थ असा की • = || अ || या माहितीच्या आधारे, कोसाइन कायद्याचे समीकरण पुन्हा लिहा:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || एक || || ब ||कमरबंद(θ)

6. 

   सूत्र सुलभ करा. समीकरणाच्या डाव्या बाजूला उत्पादने विस्तृत करा आणि नंतर कोन मोजण्यासाठी आपल्याला माहित असलेल्या सूत्रापर्यंत आपण पोहोचेपर्यंत हे सुलभ करा.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || एक || || ब ||कमरबंद(θ)
   • - • - • = -2 || एक || || ब ||कमरबंद(θ)
   • -2 (•) = -2 || अ || || ब ||कमरबंद(θ)
   • • = || एक || || ब ||कमरबंद(θ)

टिपा

• द्रुत निराकरणासाठी, कोणत्याही द्विमितीय वेक्टर जोडीसाठी खालील सूत्र लागू करा: कोस्टा = (यू₁ • v₁ + यू₂ • v₂) / (√ (यू₁ तू₂) • √ (वि₁ • v₂)).
• आपण संगणक ग्राफिक्स प्रोग्रामसह कार्य केल्यास, आपल्याला बहुधा केवळ वेक्टरची दिशा माहित असणे आवश्यक आहे, त्यांची लांबी नाही. समीकरणे सुलभ करण्यासाठी आणि आपल्या प्रोग्रामला गती देण्यासाठी खालील चरणांचे अनुसरण करा:
  • प्रत्येक वेक्टरचे सामान्यीकरण करा, म्हणजेच मूळ वेक्टरप्रमाणेच युनिट वेक्टर शोधा. हे करण्यासाठी, वेक्टरच्या प्रत्येक घटकाला वेक्टर मॉड्यूलद्वारे विभाजित करा.
  • मूळ वेक्टरच नव्हे तर सामान्य व्हेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाची गणना करा.
  • सामान्यीकृत वेक्टरचे मॉड्यूलस (म्हणजेच लांबी) एकसंध असल्याने आम्ही त्यांना सूत्राबाहेर ठेवू शकतो. कोना मोजण्यासाठी आपले अंतिम समीकरण आर्क (•) असेल.
• कोसाइन कायद्याच्या सूत्राच्या आधारे, आम्ही प्रश्नातील कोन तीव्र किंवा ओब्ट्यूज आहे की नाही हे द्रुतपणे शोधू शकतो. कोस्सी = (•) / (||||
  • समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूला समान चिन्ह असणे आवश्यक आहे (सकारात्मक किंवा नकारात्मक).
  • लांबी नेहमीच सकारात्मक असतात म्हणून कोसाकडे नेहमी स्केलर उत्पादनासारखेच चिन्ह असते.
  • म्हणूनच, जर स्केलर उत्पादन सकारात्मक असेल तर कॉस सकारात्मक होईल. याचा अर्थ असा की कोन युनिट वर्तुळाच्या पहिल्या चतुर्भुजात आहे, म्हणजे θ <π / 2 किंवा 90 °. म्हणून, कोन तीव्र आहे.
  • जर स्केलर उत्पादन नकारात्मक असेल तर कॉस θणात्मक असेल. याचा अर्थ असा की कोन युनिट वर्तुळाच्या दुसर्‍या चतुष्पादात आहे, म्हणजेच π / 2 <θ ≤ π किंवा 90 ° <θ ≤ 180 °. म्हणून, कोन ओब्ट्यूज आहे.